Οι επαναστάσεις στα μαθηματικά δεν κάνουν θόρυβο, αφού ούτε όπλα υπάρχουν, ούτε στρατοί που πολεμούν. Μόνο σύντομες αναφορές στο τέλος των ειδήσεων. Το 2006 όμως, η επιβεβαίωση της είδησης για την απόδειξη ενός από τα σημαντικότερα προβλήματα στην ιστορία των μαθηματικών, της περίφημης Εικασίας του Πουανκαρέ, ξεπέρασε τα όρια της επιστημονικής κοινότητας και έγινε πρώτη είδηση
Ο Henri Poincaré (Ανρί Πουανκαρέ) ήταν ένας από τους κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς και θεωρητικούς φυσικούς, καθώς και φιλόσοφος της επιστήμης. Γεννήθηκε σαν σήμερα στις 29 Απριλίου 1854 και πέθανε στις 17 Ιουλίου 1912. Περιγράφεται ως πολυμαθής, και στον κόσμο των μαθηματικών είναι γνωστός ως ο «τελευταίος πανεπιστήμονας», καθώς διέπρεψε σε όλα τα επιστημονικά πεδία τα οποία υπήρχαν στη διάρκεια της ζωής του.
Το 1904 η σπουδαία ερώτηση του για το πότε ένα συμπαγές αντικείμενο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με μία σφαίρα, από τον χώρο της τοπολογίας, έμελλε να βασανίζει τους μαθηματικούς για περίπου έναν αιώνα, κατατάσσοντας την σε ένα από τα επτά επικηρυγμένα προβλήματα της χιλιετίας.
Τι είναι όμως η τοπολογία με απλά λόγια;
Στο σχολείο μαθαίνουμε την ευκλείδεια γεωμετρία στην οποία αν δύο σχήματα έχουν ίσα αντίστοιχα μήκη και γωνίες και μπορούμε να σύρουμε ή να περιστρέψουμε ένα από τα σχήματα αυτά πάνω στο άλλο, τότε αυτά θεωρούνται όμοια.
Στην τοπολογία όμως, δυο σχήματα είναι όμοια μεταξύ τους αν μπορούν να «καλουπωθούν» το ένα μέσα στο άλλο με συνεχή τέντωμα, στρίψιμο ή λύγισμα, χωρίς όμως τρύπημα ή κόψιμο μεταξύ τους.
Toπολογικά όμοια σχήματα μπορούν να διαμορφωθούν το ένα μέσα στο άλλο μέσω τεντώματος, συστροφής ή κάμψης, όπως βλέπουμε και στην εικόνα. Το σχήμα και το μέγεθος δεν έχουν σημασία, μόνο οι συνδέσεις (ο αριθμός των οπών).
Γιατί όμως μια εικασία σε ένα θεωρητικό πεδίο των μαθηματικών θεωρήθηκε τόσο σημαντική και προσέλκυσε σαν σειρήνα τους σημαντικότερους μαθηματικούς του κόσμου ;
Την πιο απλή απάντηση στα παραπάνω ερωτήματα δίνει ο συγγραφέας του βιβλίου «Ο τελευταίος Πανεπιστήμονας – ο Ανρί Πουανκαρέ και η Εικασία του» υποστηρίζοντας ότι αποτέλεσε μια τολμηρή υπόθεση για κάτι που «δεν είναι τίποτε λιγότερο από το πιθανό σχήμα του μας». Το ότι το Ινστιτούτο Κλέι (αμερικανικό ίδρυμα για την ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης) πρόσφερε αργότερα και το ποσό του ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την επίλυσή του, απλά ενίσχυσε τη φήμη του προβλήματος.
Τη θριαμβευτική λύση της Εικασίας του Πουανκαρέ έδωσε το 2002, μετά από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν, γεννημένος στην Αγία Πετρούπολη το 1966 με μια απόδειξη 473 σελίδων, προκαλώντας φρενίτιδα στην παγκόσμια μαθηματική κοινότητα.
Ωστόσο αρνήθηκε το Βραβείο Fields το 2006 για την απόδειξη αυτή, αλλά και το χρηματικό έπαθλο. Ο εκκεντρικός Ρώσος, ο μεγαλοφυής Πέρελμαν, σε μια από τις εξαιρετικά σπάνιες συνεντεύξεις του, διηγήθηκε πως προπονήθηκε στην επίλυση του προβλήματος προσπαθώντας να κατανοήσει πώς ο Χριστός περπατούσε επάνω στο νερό.
«Δεν υπάρχουν προβλήματα που δε μπορούν να επιλυθούν, υπάρχουν προβλήματα που είναι δύσκολο να επιλυθούν» έλεγε, ενώ όταν του ζητήθηκε να αιτιολογήσει την στάση του απέναντι στις βραβεύσεις απάντησε: «Δεν με ενδιαφέρουν τα χρήματα και η δόξα. Δεν θέλω να με επιδεικνύουν όπως ένα ζώο σε ζωολογικό κήπο…».
Λίγα λόγια για την τοπολογία και τις εφαρμογές της…
Σε τρεις μαθηματικούς έδειξαν έναν κύβο και τους ζήτησαν να περιγράψουν τι βλέπουν. Ο πρώτος, ένας γεωμέτρης, απάντησε: «Βλέπω έναν κύβο». Ο δεύτερος, μια καθηγήτρια εξειδικευμένη στη θεωρία γραφημάτων, τόλμησε να πει: «Βλέπω οκτώ σημεία, τα οποία συνδέονται με δώδεκα ακμές». Ο τρίτος, ένας τοπολόγος, δήλωσε: «Είναι ολοφάνερο – βλέπω μια σφαίρα». George Szpiro.
Οι διάφοροι κλάδοι των μαθηματικών, με άλλα λόγια, βλέπουν το ίδιο αντικείμενο με πολύ διαφορετικό τρόπο. Βλέπουν όμως και τον ίδιο τον κόσμο με διαφορετικό τρόπο, αφού ο καθένας βλέπει αυτό που επιλέγει και αγνοεί τα υπόλοιπα.
Η Τοπολογία, λοιπόν, είναι ο κλάδος που αδιαφορεί για τις γωνίες, τις αποστάσεις και το ακριβές σχήμα των αντικειμένων. Στην πραγματικότητα απελευθερώνει τη γεωμετρία από τους περιορισμούς της μέτρησης.
Αφού όμως δεν μετράμε τότε τι μπορούμε να κάνουμε με τα αντικείμενα και πως μπορεί κάτι τέτοιο να έχει εφαρμογή στη καθημερινότητά μας;
Η απάντηση είναι απλή. Αυτά τα αφηρημένα αντικείμενα είναι τελικά και πολύ θεμελιώδη για την οικοδόμηση περισσότερο άμεσων και όχι μόνο θεωρητικών κατασκευών. Έτσι χαρακτηριστικές εφαρμογές της τοπολογίας βλέπουμε στην θεωρία καταστροφών για παράδειγμα, με εκτεταμένες εφαρμογές στην οικονομία, την κοινωνιολογία και την κλιματολογία. Ή στη θεωρία κόμβων, με άμεση εφαρμογή στη γενετική και γενικότερα στην βιολογία. Ακόμα και στη θεωρία χορδών, η οποία τις τελευταίες δεκαετίες έχει ανοίξει νέους δρόμους στην κατανόηση των έσχατων επιπέδων της ύλης.
Τα αφηρημένα αυτά αντικείμενα είναι εν τέλει μαγικά και ίσως αυτό αποτελεί την καλύτερη απάντηση.
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός – Συγγραφέας
Π
που μοριοδοτεί και στους δύο πίνακες
